Sucesiones y Series (Sucessions and Series, Spanish only)

Reconocer la relación de un elemento a otro en una secuencia y el patrón que se esta desarrollando es una habilidad fundamental para la manipulación de variables en ciclos. Con esto el alumno practicará la destreza de producir secuencias en ciclos donde cada valor esta basado en el estado presente de la iteración (vía operaciones básicas de resta, división, potencia o tipo de numero) y de producir secuencias en ciclos donde el valor del estado presente depende de los estados pasados.

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Índice

1. Definición de Sucesión
2. Ejercicios de Sucesiones
3. Definición de Serie
4. Serie Aritmética
5. Serie Geométrica
6. Convergencia

1. Definición de Sucesión

   Una sucesión es una función que esta definida para los números naturales sobre los reales, tal que f(n)=a_n, para todo n natural. Se acostumbra escribir únicamente la imagen de la sucesión como

   { a0, a1, a2, ... , an, ...}

   o bien { a_n } para todo n que pertenece a los naturales.
    

2. Ejercicios de Sucesiones

   Para las siguientes secuencias, calcular el siguiente elemento, una formula recursiva y una formula no recursiva.

   1. Secuencia de cuadrados {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}
      • Siguiente elemento: 36
      • Formula recursiva: a_n = 0; y para n>0, a_n = a_n-1 + 2n - 1
      • Formula no recursiva: a_n = n²
   2. {1, 3, 5, 7, 9,...}
   3. {3, 6, 12, 24, 48,...}
   4. {1, 4, 9, 16,...}
   5. {1, 1/8, 1/27, 1/64,...}
   6. Fibonacci {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}
       

3. Definición de Serie

   Una serie es una suma parcial de los miembros de una sucesión.
    

4. Serie Aritmética

   1. Definición

      Los elementos de la sucesión son de la forma a_n=n^k, donde k <> 0.
       

   2. Ejemplos

      1. Serie de Gauss: 1+2+3+...+n
      2. La suma de los primeros n cubos (como suma de serie aritmética simple al cuadrado)

    

5. Serie Geométrica

   1. Definición

      Los elementos de la sucesión son de la forma a_n=rⁿ, donde r <> 0, 1.
       

   2. Ejemplos

      1. Ajedrecista: 1+2+4+8+16+...+2^63
      2. Resolución de forma general de la serie geométrica
      3. Aplicación en la serie (1/2)⁰+(1/2)¹+(1/2)²+...+(1/2)ⁿ

    

6. Convergencia

   1. Introducción

      Sumamos todos los elementos de la sucesión (ya no una suma parcial). Suma de infinitos números a veces producen un numero finito -> converge. Otras veces la suma de infinitos números es infinita -> diverge.

      La serie puede converger ya que los elementos de la sucesión a medida que aumenta su índice tienden a ser muy pequeños (no contribuyen a la suma).
       

   2. Ejemplos

      1. Resolución de ejemplos específicos con series geométricas |r|<1 (r=1/2, 1/4, 1/3)
      2. Resolución general de series para series geométricas.

Siguiente articulo que se recomienda leer: Modelos Matemáticos.

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